Entornos de un punto y base de entornos

Entorno

Sea $(X,\mathcal{T})$ un espacio topológico. Un entorno de un punto $x\in X$ es un abierto $U\in \mathcal{T}$ que contiene a $x$. El conjunto formado por todos los entornos de $x$ se denota por $\mathcal{E}(x)$.

Base de entornos

Una base de entornos de un punto $x\in X$ es una colección $\mathcal{B}(x)\subset \mathcal{E}(x)$ de entornos de $x$ tal que, $\mathrm{\forall }U\in \mathcal{E}(x),\mathrm{\exists }B\in \mathcal{B}\mathcal{(}\mathcal{x}\mathcal{)}$ con $B\subset U$.

En cuanto a la relación entre base y base de entornos, Lema 3.